解谜：10000000是几？

本文源自汇编课上的一个问题：8位二进制数的原码能表示什么范围的数？大家知道8位二进制数应该可以表示 2^8=256 个数，可是原码的第1位表示正负，不算0 剩下7位可以表示 2^7-1=127 个数，再算上0，一共是 2*(2^7-1)+1=255 个数，所以到底漏了谁？

我们知道计算机最初就是为了完成计算而设计制造的，那么数字¹在计算机中是怎样表示的呢？

二进制

由于电路最容易表示的是高低电平（高： 1 ；低： 0 ），而我们知道数在不同进制下虽然表示不同，但是可以一一对应，即进制之间是相互等价的。所以自然，二进制成了不二之选。

但是负数又该怎么办呢？

负数

数字的正负只是记号，可以用0、1表示。于是，原码诞生了。

数字变为二进制编码的原初转换即为原码。转换规则如下：

• 非负数

  直接转换为二进制

• 负数

  先将绝对值转换为二进制，再将最高位写1，表示负数

以8位（8 bit）二进制数为例， 10 的原码是 00001010 ， -3 的原码是 10000011 。那么一个很自然的问题是：8位二进制数能表示什么范围的有符号数²呢？

如果不考虑负数，我们知道8位二进制数可以表示 0~255 （ 2^8=256 个数）；考虑负数后，第1位表示正负是两种可能，后面7位去除 0000000 的情况是 2^7-1=127种可能（保证严格正负，即这些情况是不重复的），最后还剩 00000000 、 10000000 这两种情况（ 2*(2^7-1)+2=2^8 ），那这两个数对应的十进制数究竟是什么呢？除去这两个数，现在已经表示的数是 -1~-127 和 1~127 ，0还没有表示，哪个表示0呢，另一个又表示哪个数字呢？我们不妨将这些确定的数先简单列出来。

十进制	二进制	|	十进制	二进制
1	00000001	|	-1	10000001
2	00000010	|	-2	10000010
3	00000011	|	-3	10000011
…	…	|	…	…
126	01111110	|	-126	11111110
127	01111111	|	-127	11111111

其实根据先前的定义，0的原码就是 00000000 ，可为什么会有这个定义呢？ 10000000 表示的又是哪个数字？此外，虽然可以使用上面的原码表示负数，但是方便计算机进行运算吗？我们知道计算机最擅长的是做加法运算，如果负数以一种恰当的方式被表示，那么 a-b 就可以看作 a+(-b) ，从而将减法转换为加法。原码可以做到吗？

观察上表就会发现负数的二进制表示随着数的不断变小，反而在增加，如 -1>-127 ，而 10000001<11111111 ，这样是不可能将减法转换为加法的（正负求和规律与正正求和、负负求和不一致），例如 1+(-1) 与 2+(-2) 对应的二进制相加是 00000001+10000001 和 00000010+10000010 ，结果分别为 10000010 和 10000100 ，显然这两个二进制结果不相等，而从十进制看结果应该均为0，矛盾。所以原码实际上并没有解决负数在计算机中的表示问题。

不过，它的思路是正确的，可以用0、1表示正负。

补码

在引入补码前，我们先看一个相关的例子。

现在有一个时钟（1点到12点），如果认为12点是0点，那么3点就是 +3 ，表示时间向后过了3个小时，11点就是 +11 ，表示时间向后过了11个小时，那 -2 是不是表示时间向前了2小时呢，所以可以认为 -2 表示的是10点吗？

时钟	数字	数字
12点	0	0
1点	1	-11
2点	2	-10
…	…	…
10点	10	-2
11点	11	-1

所以某种程度上 -2=10 ？

原因是时钟以 12 为周期，一个数放在这周期里就相当于 mod 12 （除以12取余数），变成了余数。而 -2 与 10 在 mod 12 的情况下，表示的含义是一样的。再进一步，可以认为 12 就是时钟能表示的最大信息量。

那么，计算机中的负数是否可以按照同样的思路表达？

例如，在8位二进制下，如何表示 -1 ？

首先，8位二进制，相当于 mod 2^8=256 （加上 256 或者减去 256 对这个数没有影响，因为 256 超过可表达的范围无法记录），所以我们给 -1 加上 256 试试，则 -1+256=255 的二进制将表示 -1 。 255 本身不在有符号数的表示范围内，所以不会产生误解。如果我们继续下去并考虑正数的情况（正数直接转二进制），可以得到这样一张十进制与二进制映射表。

十进制	二进制		十进制	二进制
1	00000001		-127	10000001
2	00000010		-126	10000010
3	00000011		-125	10000011
…	…	…	…	…
126	01111110		-2	11111110
127	01111111		-1	11111111

从 -127 开始到 -1 ，再从 1 到 127 ，数字不断变大；再看对应的二进制， -127 （ 10000001 ）到 -1 （ 11111111 ）也是不断变大， 1 （ 00000001 ）到 127 （ 01111111 ）也是不断变大；可是 -1 （ 11111111 ）到 1 （ 00000001 ）似乎变小了。没关系，我们先来确定 -1 和 1 之间的 0 的二进制表示是什么。如果我们给 1 （ 00000001 ）减1，得到 0 的二进制表示是 00000000 ；给 -1 （ 11111111 ）加1，得到 0 （ 100000000 ），舍弃第9位的1后变为 00000000 （8位二进制只能记录8位数字）。所以可以确定 0 的二进制就是 00000000 ，而不是 10000000 ，那么 10000000 是哪个数的二进制呢？

从上表看就很容易知道了， -1 （ 11111111 ）到 -127 （ 10000001 ）在不断减小，继续减小 1 是 -128 （ 10000000 ），此时 2^8=256 个8位二进制全部对应上了十进制数。这样的二进制，我们称为补码。

十进制与对应补码映射关系（8 bit）

上图清晰地表示了十进制与对应的补码的映射关系，所以明显地，8位二进制数能表示的有符号数（要求对称的情况下）是 -128~127 。理论上，我们其实可以给每个数加上或减去一个数做偏移，使得8位二进制数能表示的有符号数是 -127~128 、 -60~195 或者 -1~254 等，但是显然没有补码的表示方法好（非负直接转换为二进制；负数加 256 再转换为二进制）

比较原码和补码，回头看原码之所以不能作为计算机表示负数的方法，正是它的二进制表示不是递增加一（原本的十进制数 -127 到 127 是递增加一的），所以转换后不满足加法运算规律；而补码是满足递增加一的。

算法

前面补码的计算过程中有一步是给原数（负值）加上对应位数的一个数（如 8 bit就是 2^8 ），这里存在一个严重的问题。我们计算补码就是为了表示负数，将减法运算转换为加法运算，但是依据上面的算法，计算补码的过程中就需要做减法运算，所以

那有没有其他算法可以将一个十进制数转换为补码呢？

十进制	原码	补码
-1	10000001	11111111
-2	10000010	11111110
-3	10000011	11111101
…	…	…
-126	11111110	10000010
-127	11111111	10000001

由于计算十进制数的原码是不难的，负数只需要先将绝对值转换为二进制，再将最高位写1，所以列出 -1 到 -127 的原码和补码，试图找到原码转换为补码的方法。经过观察不难发现，原码和补码就像是颠倒了一样，一个从 10000001 到 11111111 ，另一个从 11111111 到 10000001 ；还有就是原码和补码的最高位均为1。所以很自然会去尝试在保证最高位不变的情况下，将其余位做变反处理（ 0 变 1 ； 1 变 0 ），而这就是反码（负数的反码；正数的反码和原码相同）。

十进制	原码	反码	补码
-1	10000001	11111110	11111111
-2	10000010	11111101	11111110
-3	10000011	11111100	11111101
…	…	…	…
-126	11111110	10000001	10000010
-127	11111111	10000000	10000001

观察上表不难发现，反码加1就是补码。至此，已经找到计算负数的补码的方法了。可是还有一个问题我们还没有解决：原码为 10000000 的十进制数是多少？

让我们倒着推导一下！ -128 的补码是 10000000 ，反码等于补码减1，是 11111111 （借位，且负数的原、反、补第一位都是1；非负数的第一位都是0），原码是反码除第一位全部变反，是 10000000 ！所以原码为 10000000 的十进制数是 -128 ！

总结

十进制	原码	反码	补码
127	01111111	01111111	01111111
126	01111110	01111110	01111110
…	…	…	…
3	00000011	00000011	00000011
2	00000010	00000010	00000010
1	00000001	00000001	00000001
0	00000000	00000000	00000000
-1	10000001	11111110	11111111
-2	10000010	11111101	11111110
-3	10000011	11111100	11111101
…	…	…	…
-126	11111110	10000001	10000010
-127	11111111	10000000	10000001
-128	10000000	11111111	10000000

原码、反码、补码的引入是为了解决计算机中使用二进制表示负数的问题，先是从0、1表示正负的思路开始，到通过加除数（ mod ）计算补码，最后是加入了反码找到一种计算补码的通用算法。由此，也就容易理解为什么非负数的原码、反码、补码都相同，都是直接转换为二进制。

最后附上依据上面的算法用C写的计算十进制数补码的程序（8 bit），点击 这里下载

---

1. 本文的数字均指整数 ↩

2. 有符号数表示的是有负数的情况，对应的是没有负数的无符号数 ↩